286

ascoders · Aug 28, 2023 · 260e3fd · 260e3fd
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 前端界的好文精读，每周更新！
 
-最新精读：<a href="./算法/285.%E7%B2%BE%E8%AF%BB%E3%80%8A%E7%AE%97%E6%B3%95%E9%A2%98%20-%20%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%A6%86%E7%9B%96%E5%AD%90%E4%B8%B2%E3%80%8B.md">285.精读《算法题 - 最小覆盖子串》</a>
+最新精读：<a href="./算法/286.%E7%B2%BE%E8%AF%BB%E3%80%8A%E7%AE%97%E6%B3%95%E9%A2%98%20-%20%E5%9C%B0%E4%B8%8B%E5%9F%8E%E6%B8%B8%E6%88%8F%E3%80%8B.md">286.精读《算法题 - 地下城游戏》</a>
 
 素材来源：[周刊参考池](https://github.com/ascoders/weekly/issues/2)
 
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 - <a href="./算法/283.%E7%B2%BE%E8%AF%BB%E3%80%8A%E7%AE%97%E6%B3%95%E9%A2%98%20-%20%E9%80%9A%E9%85%8D%E7%AC%A6%E5%8C%B9%E9%85%8D%E3%80%8B.md">283.精读《算法题 - 通配符匹配》</a>
 - <a href="./算法/284.%E7%B2%BE%E8%AF%BB%E3%80%8A%E7%AE%97%E6%B3%95%E9%A2%98%20-%20%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E8%A2%AB%20K%20%E6%95%B4%E9%99%A4%E7%9A%84%E4%B8%8B%E6%A0%87%E5%AF%B9%E6%95%B0%E7%9B%AE%E3%80%8B.md">284.精读《算法题 - 统计可以被 K 整除的下标对数目》</a>
 - <a href="./算法/285.%E7%B2%BE%E8%AF%BB%E3%80%8A%E7%AE%97%E6%B3%95%E9%A2%98%20-%20%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%A6%86%E7%9B%96%E5%AD%90%E4%B8%B2%E3%80%8B.md">285.精读《算法题 - 最小覆盖子串》</a>
+- <a href="./算法/286.%E7%B2%BE%E8%AF%BB%E3%80%8A%E7%AE%97%E6%B3%95%E9%A2%98%20-%20%E5%9C%B0%E4%B8%8B%E5%9F%8E%E6%B8%B8%E6%88%8F%E3%80%8B.md">286.精读《算法题 - 地下城游戏》</a>
 
 ### 可视化搭建
 

diff --git a/算法/286.精读《算法题 - 地下城游戏》.md b/算法/286.精读《算法题 - 地下城游戏》.md
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+今天我们看一道 leetcode hard 难度题目：[地下城游戏](https://leetcode.cn/problems/dungeon-game/description/)。
+
+恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 `dungeon` 的 右下角 。地下城是由 `m x n` 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。
+
+骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。
+
+有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。
+
+为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。
+
+返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。
+
+注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。
+
+<img width=400 src="https://user-images.githubusercontent.com/7970947/263517730-f0614372-02c5-4ddf-8ffe-5410ffa3a68b.png">
+
+> 输入：`dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]`
+>
+> 输出：`7`
+>
+> 解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。
+
+## 思考
+
+挺像游戏的一道题，首先只能向下或向右移动，所以每个格子可以由上面或左边的格子移动而来，很自然想到可以用动态规划解决。
+
+再想一想，该题必须遍历整个地下城而无法取巧，因为最低健康点数无法由局部数据算出，这是因为如果不把整个地下城走完，肯定不知道是否有更优路线。
+
+## 动态规划
+
+二维迷宫用两个变量 `i` `j` 定位，其中 `dp[i][j]` 描述第 `i` 行 `j` 列所需的最低 HP。
+
+但最低所需 HP 无法推断出是否能继续前进，我们还得知道当前 HP 才行，比如：
+
+```js
+// 从左到右走
+3 -> -5 -> 6 -> -9
+```
+
+在数字 `6` 的位置所需最低 HP 是 `3`，但我们必须知道在 `6` 时勇者剩余 HP 才能判断 `-9` 会不会直接导致勇者挂了，因此我们将 `dp[i][j]` 结果定义为一个数组，第一项表示当前 HP，第二项表示初始所需最低 HP。
+
+代码实现如下：
+
+```js
+function calculateMinimumHP(dungeon: number[][]): number {
+  // dp[i][j] 表示 i,j 位置 [当前HP, 所需最低HP]
+  const dp = Array.from(dungeon.map(item => () => [0, 0]))
+  // dp[i][j] = 所需最低HP最低(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
+  dp[0][0] = [
+    dungeon[0][0] > 0 ? 1 + dungeon[0][0] : 1,
+    dungeon[0][0] > 0 ? 1 : 1 - dungeon[0][0]
+  ]
+  for (let i = 0; i < dungeon.length; i++) {
+    for (let j = 0; j < dungeon[0].length; j++) {
+      if (i === 0 && j === 0) {
+        continue
+      }
+
+      const paths = []
+      if (i > 0) {
+        paths.push([i - 1, j])
+      }
+      if (j > 0) {
+        paths.push([i, j - 1])
+      }
+
+      const pathResults = paths.map(path => {
+        let leftMaxHealth = dp[path[0]][path[1]][0] + dungeon[i][j]
+        // 剩余HP大于 0 则无需刷新最低HP，否则尝试刷新取最大值
+        let lowestNeedHealth = dp[path[0]][path[1]][1]
+        if (leftMaxHealth <= 0) {
+          // 最低要求HP补上差价
+          lowestNeedHealth += 1 - leftMaxHealth
+          // 最低需要HP已补上，所以剩余HP也变成了 1
+          leftMaxHealth = 1
+        }
+        return [leftMaxHealth, lowestNeedHealth]
+      })
+
+      // 找到 pathResults 中 lowestNeedHealth 最小项
+      let minLowestNeedHealth = Infinity
+      let minIndex = 0
+      pathResults.forEach((pathResult, index) => {
+        if (pathResult[1] < minLowestNeedHealth) {
+          minLowestNeedHealth = pathResult[1]
+          minIndex = index
+        }
+      })
+
+      dp[i][j] = [pathResults[minIndex][0], pathResults[minIndex][1]]
+    }
+  }
+
+  return dp[dungeon.length - 1][dungeon[0].length - 1][1]
+};
+```
+
+首先计算初始位置 `dp[0][0]`，因为只看这一个点，因此如果有恶魔，最少初始 HP 为能击败恶魔后自己剩 1 HP 就行了，如果房间是空的，至少自己 HP 得是 1（否则勇者进迷宫之前就挂了），如果有魔法球，那么初始 HP 为 1（一样防止进迷宫前挂了）。
+
+初始 HP 稍有不同，如果房间是空的或者有恶魔，那打完恶魔之后最多剩 1 HP 最经济，所以此时 HP 初始值就是 1，如果有魔法球，那么一方面为了防止进入迷宫前自己就挂了，得有个初始 1 的 HP，魔法球又必须得吃，所以 HP 是 1 + 魔法球。
+
+接着就是状态转移方程了，由于 `dp[i][j]` 可以由 `dp[i-1][j]` 或 `dp[i][j-1]` 移动得到（注意 i 或 j 为 0 时的场景），因此我们判断一下从哪条路过来的最低初始 HP 最低就行了。
+
+如果进入当前房间后，房间是空的，有魔法球，或者当前 HP 可以打败恶魔，则不影响最低初始 HP，如果当前 HP 不足以击败恶魔，则我们把缺的 HP 给勇者在初始时补上，此时极限一些还剩 1 HP，得到一个最经济的结果。
+
+然后我们提交代码发现，无法 AC！下面是一个典型挂掉的例子：
+
+```
+1   -3    3
+0   -2    0
+-3  -3   -3
+```
+
+我们把 DP 中间过程输出，发现右下角的 5 大于最优答案 3.
+
+```js
+[
+  [ 2, 1 ], [ 1, 3 ], [ 4, 3 ]
+  [ 2, 1 ], [ 1, 2 ], [ 1, 2 ]
+  [ 1, 3 ], [ 1, 5 ], [ 1, 5 ]
+]
+```
+
+观察发现，勇者先往右走到头，再往下走到头答案就是 3，问题出在 `i=1,j=2` 处，也就是中间行最右列的 `[1, 2]`。但从这一点来看，勇者从左边过来比从上面过来需要的初始 HP 少，因为左边是 `[1, 2]` 上面是 `[4, 3]`，但这导致了答案不是最优解，因为此时剩余 HP 不够，右下角是一个攻击为 3 的恶魔，而如果此时我们选择了初始 HP 高一些的 `[4, 3]`，换来了更高的当前 HP，在不用补初始 HP 的情况就能把右下角恶魔干掉，整体是更划算的。
+
+如果此时我们在玩游戏，读读档也就能找到最优解了，但悲剧的是我们在写一套算法，**我们发现当前 DP 项居然还可能由后面的值（攻击力为 3 的恶魔）决定！** 用专业的话来说就是有后效性导致无法使用 DP。
+
+我们在判断每一步最优解时，其实有两个同等重要的因素影响判断，一个是初始最少所需 HP，它的重要度不言而喻，我们最终就希望这个答案尽可能小；但还有当前 HP 呢，当前 HP 高意味着后面的路会更好走，但我们如果不往后看，就不知道后面是否有恶魔，自然也不知道要不要留着高当前 HP 的路线，所以根本就无法根据前一项下结论。
+
+因为考虑的因素太多了，我们得换成游戏制作者的视角，假设作为游戏设计者，而不是玩家，你会真的从头玩一遍吗？如果真的要设计这种条件很极限的地下城，设计者肯定从结果倒推啊，结果我们勇者就只剩 1 HP 了，至于路上会遇到什么恶魔或者魔法球，反过来倒推就一切尽在掌握了。所以我们得采用从右下角开始走的逆向思维。
+
+## 逆向思维
+
+为什么从结果倒推，DP 判断条件就没有后效性了呢？
+
+先回忆一下从左上角出发的情况，为什么除了最低初始 HP 外还要记录当前 HP？原因是当前 HP 决定了当前房间的怪物勇者能否打得过，如果打不过，我们得扩大最低初始 HP 让勇者能在仅剩 1 HP 的情况险胜当前房间的恶魔。**但这个当前 HP 值不仅要用来辅助计算最低初始 HP，它还有一个越大越好的性质，因为后面房间可能还有恶魔，得留一些 HP 预防风险**，而 "最低初始 HP" 尽可能低与 "当前 HP" 尽可能高，这两个因素无法同时考虑。
+
+那为什么从右下角，以终为始的考虑就可以少判断一个条件了呢？首先最低初始 HP 我们肯定要判断的，因为答案要的就是这个，那当前 HP 呢？当前 HP 重要吗？不重要，因为你已经拯救到公主了，而且是以最低 HP 1 点的状态救到了公主，按故事路线逆着走，遇到恶魔房间，恶魔攻击是多少我就给你加多少初始 HP，遇到魔法球恢复了我就给你扣对应初始 HP，总之能让你正好战胜恶魔，魔法球补给你的 HP 我也扣掉，就可以了。**核心区别是，此时当前 HP 已经不会影响最低初始 HP 了，因为初始 HP 就是从头推的，我们反着走地下城，每次实际上都是在判断这个点作为起点时的状态，所以与之前的路径无关。**
+
+代码很简单，如下：
+
+```js
+function calculateMinimumHP(dungeon: number[][]): number {
+  // dp[i][j] 表示 i,j 位置最少HP
+  const dp = Array.from(dungeon.map(item => () => [0, 0]))
+  // 右下角起始 HP 1，遇到怪物加血，遇到魔法球扣血，实际上就是 -dungeon 计算
+  const si = dungeon.length - 1
+  const sj = dungeon[0].length - 1
+  dp[si][sj] = dungeon[si][sj] > 0 ? 1 : 1 - dungeon[si][sj]
+  for (let i = si; i >= 0; i--) {
+    for (let j = sj; j >= 0; j--) {
+      if (i === si && j === sj) {
+        continue
+      }
+
+      const paths = []
+      if (i < si) {
+        paths.push([i + 1, j])
+      }
+      if (j < sj) {
+        paths.push([i, j + 1])
+      }
+
+      const pathResults = paths.map(path => dp[path[0]][path[1]] - dungeon[i][j])
+      // 选出最小 HP 作为 dp[i][j]，但不能小于 1
+      dp[i][j] = Math.max(Math.min(...pathResults), 1)
+    }
+  }
+
+  return dp[0][0]
+};
+```
+
+逆向思维为什么就能减少当前 HP（或者说路径和，或者说所有之前节点的影响）判断呢？我猜你大概率还是没彻底明白。因为这个思考非常关键，可以说是这道题 99% 的困难所在，还是画个图解释一下:
+
+<img width=400 src="https://user-images.githubusercontent.com/7970947/263527687-3dfa32b0-cedf-4032-8434-6ccb98cd156f.png">
+
+上图是勇者正常探险的思路，下面是逆向（或公主救勇者）的思路。
+
+<img width=400 src="https://user-images.githubusercontent.com/7970947/263527731-492bd2f5-411e-44c7-a68e-2197d37b582b.png">
+
+## 总结
+
+该题很容易想到使用动态规划解决，但因为目标是求最低的初始健康点需求，所以按照勇者路径走的话，后续未探索的路径会影响到目标，所以我们需要从公主角度反向寻找勇者，才可以保证动态规划的每个判断点都只考虑一个影响因素。
+
+> 讨论地址是：[精读《算法 - 地下城游戏》· Issue #498 · dt-fe/weekly](https://github.com/dt-fe/weekly/issues/498)
+
+**如果你想参与讨论，请 [点击这里](https://github.com/dt-fe/weekly)，每周都有新的主题，周末或周一发布。前端精读 - 帮你筛选靠谱的内容。**
+
+> 版权声明：自由转载-非商用-非衍生-保持署名（[创意共享 3.0 许可证](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.zh)）